如图①.在△ABC中.点P在最大边AC上.点Q在线段AB或AB的延长线上.连接BP.PQ.若△AQP∽△BCP.则称点P.Q为AC.AB边上的一对“相似点．(1)如图①.在△ABC中.点P.Q为AC.AB边上的一对“相似点 .找出一个与△ABC相似的三角形.并加以证明,(2)如图①.在△ABC中.点P.Q为AC.AB边上的一对“相似点 .若AP=BC.求证:点P为线段AC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图①，在△ABC中，点P在最大边AC上，点Q在线段AB或AB的延长线上，连接BP，PQ，若△AQP∽△BCP，则称点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”．
（1）如图①，在△ABC中，点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，找出一个与△ABC相似的三角形，并加以证明；
（2）如图①，在△ABC中，点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，若AP=BC，求证：点P为线段AC的黄金分割点（即CP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AP）；
（3）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC=12，AC=18，在线段AB上找出一点P，在射线AB上找出一点Q，使点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，并求出CP和BQ的长．

分析（1）根据题意得出△AQP∽△BCP，由相似三角形的性质得出∠A=∠PBC，再由∠C=∠C，即可得出△BPC∽△ABC；
（2）由（1）得：△BPC∽△ABC，由相似三角形的性质得出$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，设CP=x，AP=BC=y，则$\frac{x}{y}=\frac{y}{x+y}$，求出x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$y，得出$\frac{CP}{AP}=\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可；
（3）过点B作∠CBP=∠A，BP交AC于点P；过点P作∠QPA=∠BPC，PQ交AB的延长线于于点Q，则P、Q即为所求的点；得出△AQP∽△BCP∽△ACB，得出对应边成比例$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，即可求出CP和AQ，即可得出BQ的长．

解答（1）解；△BPC∽△ABC；理由如下：
∵△ABC中，点P、Q为AC、AB边上的一对“相似点”，
∴△AQP∽△BCP，
∴∠A=∠PBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BPC∽△ABC；

（2）证明：由（1）得：△BPC∽△ABC，
∴$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，
设CP=x，AP=BC=y，
则$\frac{x}{y}=\frac{y}{x+y}$，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}y$（负值舍去），
∴x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$y，
∴$\frac{CP}{AP}=\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点P为线段AC的黄金分割点（即CP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AP）；

（3）解：过点B作∠CBP=∠A，BP交AC于点P；过点P作∠QPA=∠BPC，PQ交AB的延长线于于点Q，
则P、Q即为所求的点；
如图所示：
根据题意得：△AQP∽△BCP∽△ACB，
∴$\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{AC}$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{CP}{12}=\frac{12}{18}$，$\frac{18-CP}{12}=\frac{AQ}{18}$，
解得：CP=8，AQ=15，
∴BQ=AQ-AB=15-12=3．

点评本题是相似性综合题目，考查了新定义“相似点”、相似三角形的判定与性质、黄金分割点等知识；熟练掌握新定义和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

	A．	（x-y）（-y-x）=y²-x²		B．	（2x-y）（y-2x）=-y²-4x²
	C．	（2a-1）²=4a²-2a+1		D．	（3-x）²=9-x²

	A．	y的值为负
	B．	双曲线在一、三象限
	C．	y随x的增大而增大
	D．	在所在的每一个象限，y随x的增大而增大

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