Question

如图，在平面直角坐标系中，点D为y轴上一点，⊙D与坐标轴分别相交于A（-

3

，0）、C（0，3）及B、F四点．E为优弧

AB

上一动点（不与A、B、C三点重合），M为半径DE的中点，过点E作EN⊥x轴于点N，连接MN，当∠ENM=15°时，点E的坐标为（1，

3

+1）或（-1，

3

+1）．请判断此时以DE为直径的⊙M与直线DN的位置关系．

Answer 1

考点：圆的综合题,勾股定理,正方形的判定与性质,直线与圆的位置关系,特殊角的三角函数值

专题：探究型

分析：①当点E的坐标为（1，

3

+1）时，连接AD，如图1．设点D的坐标为（0，m），根据OC=CD+OD建立关于m的方程，求出m，从而可求出OD、DE．过点D作DH⊥EN于H，易证四边形DONH是正方形，从而得到∠HDN=45°，NH=OD=1，在Rt△DHE中运用三角函数可求出∠EDH的度数，进而得到∠EDN=105°，故DN与⊙M相交；
②当点E的坐标为（-1，

3

+1）时，连接AD，如图2．设点D的坐标为（0，m），根据OC=CD+OD建立关于m的方程，求出m，从而可求出OD、DE．过点D作DH⊥EN于H，易证四边形DONH是正方形，从而得到∠HDN=45°，NH=OD=1，在Rt△DHE中运用三角函数可求出∠EDH的度数，进而得到∠EDN=105°，故DN与⊙M相交．

解答：解：①当点E的坐标为（1，

3

+1）时，连接AD，如图1．
设点D的坐标为（0，m），
则DE=CD=AD=

AO2+DO2

=

3+m2

，
∴OC=CD+OD=

3+m2

+m=3，
解得：m=1．
∴OD=1，DE=2．
∵点E的坐标为（1，

3

+1），EN⊥x轴，
∴N（1，0）．即ON=1．
过点D作DH⊥EN于H，如图1．
∴∠DON=∠DHN=∠ONH=90°，
∴四边形DONH是矩形．
∵ON=OD，
∴矩形DONH是正方形，
∴∠HDN=45°，NH=OD=1，
∴EH=

3

+1-1=

3

．
在Rt△DHE中，
∵sin∠EDH=

EH

ED

=

3

2

，
∴∠EDH=60°，
∴∠EDN=∠EDH+∠HDN=60°+45°=105°．
故DN与⊙M相交．
②当点E的坐标为（-1，

3

+1）时，连接AD，如图2．
设点D的坐标为（0，m），
则DE=CD=AD=

AO2+DO2

=

3+m2

，
∴OC=CD+OD=

3+m2

+m=3，
解得：m=1．
∴OD=1，DE=2．
∵点E的坐标为（-1，

3

+1），EN⊥x轴，
∴N（-1，0）．即ON=1．
过点D作DH⊥EN于H，如图．
∴∠DON=∠DHN=∠ONH=90°，
∴四边形DONH是矩形．
∵ON=OD，
∴矩形DONH是正方形，
∴∠HDN=45°，NH=OD=1，
∴EH=

3

+1-1=

3

．
在Rt△DHE中，
∵sin∠EDH=

EH

ED

=

3

2

，
∴∠EDH=60°，
∴∠EDN=∠EDH+∠HDN=60°+45°=105°．
故DN与⊙M相交．
综上所述：DN与⊙M相交．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、正方形判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理、解无理方程等知识，有一定的综合性．