通过类比联想.引申拓展研究典型题目.可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例.请补充完整．原题:如图1.点E.F分别在正方形ABCD的边BC.CD上.∠EAF=45°.连结EF.试猜想EF.BE.DF之间的数量关系．(1)思路梳理把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG.可使AB与AD重合.由∠ADG=∠B=90°.得∠FDG=180°.即点F.D.G共线.易证△AFG≌� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌△AFE，故EF、BE、DF之间的数量关系
为EF=DF+BE．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系为EF=DF-BE，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的长．

分析（1）先根据旋转得：∠ADG=∠A=90°，计算∠FDG=180°，即点F、D、G共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；
（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF-DG=DF-BE；
（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，证明△DAE≌△GAE，得DE=EG，先由勾股定理求EG的长，从而得结论．

解答解：（1）思路梳理：
如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，
由旋转得：∠ADG=∠A=90°，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
即点F、D、G共线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD+∠DAG=∠FAG=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△AFE和△AFG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
故答案为：△AFE，EF=DF+AE；
（2）类比引申：
如图2，EF=DF-BE，理由是：
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF-DG=DF-BE；
（3）联想拓展：
如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACG=∠B=45°，
∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，
∵EC=6，CG=BD=3，
由勾股定理得：EG=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{36+9}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠BAD=∠CAG，∠BAC=90°，
∴∠DAG=90°，
∵∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠CAG+∠EAC=45°=∠EAG，
∴∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠EAG=45°，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEG，
∴DE=EG=3$\sqrt{5}$．