如图1.将两个完全相同的三角形纸片ABC和A′B′C重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠B′=30°.AC=AC′=2．(1)如图2.固定△ABC.将△A′B′C绕点C旋转.当点A′恰好落在AB边上时.①∠CA′B′=60°,旋转角ɑ=60°.线段A′B′与AC的位置关系是平行,②设△A′BC的面积为S1.△AB′C的面积为S2.则S1与S2的数量关系是什么?证明你的结论,(2)如图3.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和A′B′C重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2．
（1）如图2，固定△ABC，将△A′B′C绕点C旋转，当点A′恰好落在AB边上时，
①∠CA′B′=60°；旋转角ɑ=60°（0°＜ɑ＜90°），线段A′B′与AC的位置关系是平行；
②设△A′BC的面积为S₁，△AB′C的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是什么？证明你的结论；
（2）如图3，∠MON=60°，OP平分∠MON，OP=PN=4，PQ∥MO交ON于点Q．若在射线OM上存在点F，使S_△PNF=S_△OPQ，请直接写出相应的OF的长．

分析（1）①如图2，理由旋转的性质得∠CAB=∠CA′B′=60°，CA=CA′，∠ACA′为旋转角，则可判断△CAA′为等边三角形，于是得到∠ACA′=60°，旋转角为60°；然后根据平行线的判断方法可判断A′B′∥AC；
②先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出A′E=$\frac{1}{2}$CA′=1，CE=$\sqrt{3}$A′E=$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式计算出S₁和S₂，从而得到它们的数量关系；
（2）如图3，作PF₁∥ON交OM于F₁，作PF₂⊥OP交OM于F₂，先证明四边形OQPF₁为平行四边形得到PF₁=OQ，则S_△NF1P=S_△POQ，再证明△F₂F₁P为等边三角形得到PF₂=PF₁，于是利用（1）中的结论得S_△PNF2=S_△OPQ，则可判定点F₁、点F₂为满足条件的点，然后计算OF₂和OF₁即可．

解答解：（1）①如图1，∵∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2，
∴∠CAB=∠CA′B′=60°，BC=2$\sqrt{3}$，
如图2，
∵△A′B′C绕点C旋转，点A′恰好落在AB边上，
∴∠CAB=∠CA′B′=60°，CA=CA′，∠ACA′为旋转角，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
即旋转角为60°；
∵∠CA′B′=∠ACA′，
∴A′B′∥AC；
故答案为60°；60°；平行；
②S₁=S₂．理由如下：
∵A′B′∥AC，
∴A′E⊥BC，
在Rt△CA′E中，A′E=$\frac{1}{2}$CA′=1，CE=$\sqrt{3}$A′E=$\sqrt{3}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$•1•2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
S₂=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S₁=S₂；
（2）如图3，作PF₁∥ON交OM于F₁，作PF₂⊥OP交OM于F₂，
∵∠MON=60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ=∠POF₁=30°，
∵PQ∥OM，PF₁∥OQ，
∴四边形OQPF₁为平行四边形，
∴PF₁=OQ，
∴S_△NF1P=S_△POQ，
∵∠OPF₂=90°，∠F2OP=30°，
∴∠OF₂P=60°，
而∠F₂F₁P=∠MON=60°，
∴△F₂F₁P为等边三角形，
∴PF₂=PF₁，
由（1）中的结论得S_△PNF2=S_△OPQ，
∴点F₁、点F₂为满足条件的点，
在Rt△OPF₂中，sin∠POF₂=$\frac{OP}{O{F}_{2}}$，
∴OF₂=$\frac{4}{sin30°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴PF₂=$\frac{1}{2}$OF₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵PF₁∥OQ，
∴∠OPF₁=∠POQ=30°，
∴∠OPF₁=∠POF₁=30°，
∴OF₁=PF₁=PF₂，
∴OF₁=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
综上所述，OF的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．