Question

如图，正方形ABCD的边长为5，内部有6个大小相同的小正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则小正方形的边长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理

专题：

分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠AEG=∠CGE，再根据等角的余角相等求出∠DEH=∠BGF，然后利用“角角边”证明△DEH和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BG，过点G作GK⊥AD于K，可得AK=BG，再求出△DEH和△KGE相似，利用相似三角形对应边成比例求出DE，再求出EK，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．

解答：解：∵正方形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AEG=∠CGE，
∴∠DEH=∠BGF，
∵6个小正方形大小相同，
∴EH=GF，
在△DEH和△BGF中，

∠DEH=∠BGF ∠B=∠D=90° EH=GF

，
∴△DEH≌△BGF（AAS），
∴DE=BG，
过点G作GK⊥AD于K，则四边形ABGK是矩形，
所以，AK=BG，KG=AB=5，
∵∠DEH+∠KEG=90°，
∠KEG+∠KGE=90°，
∴∠DEH=∠KGE，
又∵∠D=∠EKG=90°，
∴△DEH∽△KGE，
∴

DE

KG

=

EH

GE

=

1

5

，
∴DE=

1

5

KG=

1

5

×5=1，
∴EK=AD-DE-AK=5-1-1=3，
在Rt△KEG中，由勾股定理得，EG=

32+52

=

34

，
所以，小正方形的边长为

34

5

．
故答案为：

34

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出相似三角形和全等三角形．