Question

已知：直线y=

3

4

x+2与双曲线y=

k

x

(k＞0)相交于点A、B，且点A的纵坐标为-1．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别相交于点D、C，过点B作BP⊥AB，交y轴于点P，求tan∠BPC的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A点的纵坐标代入直线解析式，即可求得A的坐标．再根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
（2）由∠DCO=∠PCB，∠PBC=∠DOC=90°可知∠BPC=∠CDO，根据直线y=

3

4

x+2可求得与x轴、y轴的交点，从而求得OC、OD的长，求得tan∠BPC的值．

解答：解：（1）把y=-1代入y=

3

4

x+2，
得：x=-4
∴点A的坐标为（-4，-1），
把（-4，-1）代入y=

k

x

，
得：-1=

k

-4

，
∴k=4
∴双曲线的解析式为：y=

4

x

．

（2）∵BP⊥AB，
∴∠PBC=90°，
∴∠BPC+∠PCB=90°
∵DO⊥CO，
∴∠DOC=90°，∠CDO+∠DCO=90°，
又∵∠DCO=∠PCB，
∴∠BPC=∠CDO，
∴tan∠BPC=tan∠CDO，
在y=

3

4

x+2中，令x=0，则y=2，
∴OC=2，
令y=0，则x=-

8

3

，
∴DO=

8

3

，
在Rt△DOC中，tan∠BPC=tan∠CDO=

OC

DO

=

2

8 3

=

3

4

．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角函数的有关知识，同学们要熟练掌握．