Question

14．某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20%，用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2 台．
（1）求甲、乙两种品牌空调的进货价；
（2）该商场拟用不超过16000 元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元/台，乙种品牌空调的售价为3500元/台．请你帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10 台空调后获利最大，并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）设甲种品牌空调的进货价为x元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x元/台，根据数量=总价÷单价可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种品牌空调a台，所获得的利润为y元，则购进乙种品牌空调（10-a）台，根据总价=单价×数量结合总价不超过16000 元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由总利润=单台利润×购进数量即可得出y关于a的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设甲种品牌空调的进货价为x元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x元/台，
根据题意得：$\frac{7200}{1.2x}$-$\frac{3000}{x}$=2，
解得：x=1500，
经检验，x=1500是原分式方程的解，
∴1.2x=1500×1.2=1800．
答：甲种品牌空调的进货价为1500元/台，乙种品牌空调的进货价为1800元/台．

（2）设购进甲种品牌空调a台，所获得的利润为y元，则购进乙种品牌空调（10-a）台，
根据题意得：1500a+1800（10-a）≤16000，
解：a≥$\frac{20}{3}$．
∵a≤10，且a为正整数，
∴a=7，8，9，10．
∵y=（2500-1500）a+（3500-1800）（10-a）=-700a+17000，其中k=-700＜0，
∴y的值随着a的值的增大而减小，
∴当a=7时，y取得最大值，此时y=-7×700+17000=12100．
答：进货方案为：购进甲种空调7台，乙种空调3台，可获得最大利润，最大利润为12100元．

点评 本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价列出关于x的分式方程；（2）根据总利润=单台利润×购进数量找出y关于a的函数关系式．