Question

17．等腰Rt△PAB中，∠PAB=90°，点C是AB上一点（与A、B不重合），连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°，得到线段DC．连接PD，BD．探究∠PBD的度数，以及线段AB与BD、BC的数量关系．
（1）尝试探究
如图（1），点C在线段AB上，可通过证明△PAC∽△PBD，得出结论：∠PBD=90°； AB=BC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD（不需要证明）；
（2）类比探索
如图（2），点C在直线AB上，且在点B右侧，还能得出与（1）中同样的结论么？请写出你得到的结论并证明；
（3）拓展迁移
如图（3），点C在直线AB上，且在点A左侧，请补充完成图形，并直接写出你得到的结论（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）由题意得：△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD=90°∴∠CPD=45°=∠APB，证明△PAC∽△PBD，得出∠PBD=∠PAC=90°，$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，即可得出结论；
（2）由题意得：△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD=90°∴∠CPD=45°=∠APB，证明△PAC∽△PBD，得出∠PBD=∠PAC=90°，$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，即可得出结论；
（3）由题意得：△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD=90°∴∠CPD=45°=∠APB，证明△PAC∽△PBD，得出∠PBD=∠PAC=90°，$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得：△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD=90°，
∴∠CPD=45°=∠APB，
∴∠CPD+∠BPC=∠APB+∠BPC，即∠BPD=∠APC，
又∵$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{PC}{PD}$，
∴△PAC∽△PBD，相似比为$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠PBD=∠PAC=90°，$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴AB=BC+AC=BC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD；
故答案为：90，BC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD
（2）∠PBD=90°； AB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}BD-BC$；理由如下：
∵由题意，△PCD为等腰直角三角形，且∠PCD=90°，
∴∠CPD=45°=∠APB，
∴∠CPD+∠BPC=∠APB+∠BPC，即∠BPD=∠APC
又∵$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{PC}{PD}$，
∴△PAC∽△PBD，相似比为$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠PBD=∠PAC=90°，$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴$AB=AC-BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BD-BC$，
（3）∠PBD=90°； AB=$BC-\frac{{\sqrt{2}}}{2}BD$；
理由如下：如图所示：
同（2）得：△PAC∽△PBD，相似比为$\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠PBD=∠PAC=90°，$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴AB=BC-AC=BC-$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．