Question

如图，四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是BC、AD的中点，EF交BA、DC与P、Q，求证：∠BPE=∠CQF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接BD，取BD的中点H，连接EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥CD，EH=

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CD，FH∥AB，FH=

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AB，然后求出EH=FH，根据等边对等角可得∠HFE=∠HEF，再根据平行线的性质可得∠BPE=∠HFE，∠CQF=∠HEF，然后等量代换即可得证．

解答：证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接EH、FH，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴EH、FH分别是△BCD和△ABD的中位线，
∴EH∥CD，EH=

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CD，FH∥AB，FH=

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AB，
∵AB=DC，
∴EH=FH，
∴∠HFE=∠HEF，
∵FH∥AB，
∴∠BPE=∠HFE，
∵EH∥CD，
∴∠CQF=∠HEF，
∴∠BPE=∠CQF．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质与定理并作辅助线构造出三角形是解题的关键．