Question

如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB=30°，DB=5

3

cm．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC⊥BD，根据垂径定理得到BE的长，再根据圆周角定理发现∠BOE=60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径；
（2）结合（1）中的有关结论证明△DCE≌△BOE，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形OBC的面积．

解答：解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，
∴∠ACO=90°
∵BD∥AC∴∠BEO=∠ACO=90°，
∴DE=EB=

1

2

BD=

5 3

2

（cm）
∵∠D=30°，
∴∠O=2∠D=60°，
在Rt△BEO中，sin60°=

BE

OB

，

3

2

=

5 3 2

OB

∴OB=5，即⊙O的半径长为5cm．

（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，
∴∠EBO=∠D=30°
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE
∴S阴=S扇OBC=

60

360

π•52=

25π

6

(cm2)，
答：阴影部分的面积为

25π

6

cm2．

点评：本题主要考查切线的性质定理、平行线的性质定理、垂径定理以及全等三角形的判定方法．能够熟练解直角三角形．