Question

10．菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB、CD所在的直线于点F、E．
（1）当点F、E分别在线段AB和CD上时，如图①，易证BF+CE=BC（不需征明）
（2）当点F、E分别在线段BA和CD的延长线上时．如图②：当点F、E分别在线段AB和CD的延长线上时，如图③，线段BF、CE和BC又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择其中一种情况给予证明．

Answer 1

分析 （2）如图②中，结论：BF-CE=BC，只要证明△ODE≌△PBF即可解决问题．如图③中结论：CE-BF=BC．证明方法类似．

解答 解：（2）如图②中，结论：BF-CE=BC．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，OD=OB，
∴∠E=∠F
在△ODE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠DOE=∠BOF}\\{DO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△PBF，
∴DE=BF
∴CE=AF，
∴BF-CE=BF-AF=AB=BC，
即BF-CE=BC．

如图③中结论：CE-BF=BC．
证明：：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，OD=OB，
∴∠E=∠F
在△ODE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠DOE=∠BOF}\\{DO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△PBF，
∴DE=BF
∴CE-BF=CE-DE=CD=BC，
即CE-BF=BC．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．