Question

7．阅读下面的材料，并解答问题：
$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{（2+\sqrt{2}）（2-\sqrt{2}）}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{（3\sqrt{2}+2\sqrt{3}）（3\sqrt{2}-2\sqrt{3}）}$=$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{（4\sqrt{3}+3\sqrt{4}）（4\sqrt{3}-3\sqrt{4}）}$=$\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$，
$\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}}$=$\frac{5\sqrt{4}-4\sqrt{5}}{（5\sqrt{4}+4\sqrt{5}）（5\sqrt{4}-4\sqrt{5}）}$=$\frac{5\sqrt{4}-4\sqrt{5}}{20}$=$\frac{\sqrt{4}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$…
（1）若n为正整数，用含n的等式表示你探索的规律；
（2）利用你探索的规律计算：
$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件可得规律：$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$；
（2）利用探索的规律，先将每一项写成两个二次根式的差的形式，再去括号、合并同类二次根式即可．

解答 解：（1）由题意可知规律为：$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$；

（2）$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$+$\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}$
=（1$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$）+…+（$\frac{\sqrt{24}}{24}$-$\frac{\sqrt{25}}{25}$）
=1-$\frac{\sqrt{25}}{25}$
=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了分母有理化，二次根式的计算，根据条件得出规律：$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$是解题的关键．