Question

5．如图，∠BAC=∠BEF=90°，AB=AC=3，EB=EF，BF=1，O为FC的中点，当△EBF绕点B旋转（在△ABC所在平面内）时，AO的最大值为$\frac{3\sqrt{2}+1}{2}$．

Answer 1

分析 取BC的中点M，连接AM、OM，根据勾股定理和直角三角形的性质求出AM，根据三角形中位线定理求出OM，根据三角形三边关系解答即可．

解答 解：取BC的中点M，连接AM、OM，
∵∠BAC=90°，AB=AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵O为FC的中点，M为BC的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$BF，
∵AO≤AM+OM=$\frac{3\sqrt{2}+1}{2}$，
∴AO的最大值为$\frac{3\sqrt{2}+1}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查的是旋转的性质、三角形中位线定理的应用、三角形的三边关系，掌握旋转变换的性质、三角形中位线定理是解题的关键．