Question

15．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．
（1）AC=4$\sqrt{2}$；
（2）如图，当∠EAF被对角线AC平分时，∠FAC=22.5°°，∠AEC=22.5°°；
（3）如图，当∠EAF绕点A旋转的过程中，设CE=x，CF=y，求x与y的关系式．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=DC=4且∠ADC=90°，再根据勾股定理得出AC的长；
（2）由∠FAE=45°且AC平分∠EAF可得∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠EAF=22.5°，再利用∠AEC=∠ACB-∠EAC可得答案；
（3）先证∠CAF=∠AEC，结合∠ACF=∠ACE=135°可证△ACF∽△ECA，得$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CF}{AC}$，即EC×CF=AC²=2AB²=32，从而得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=4，且∠ADC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$；

（2）∵∠FAE=45°，且AC平分∠EAF，
∴∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠EAF=22.5°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠AEC=∠ACB-∠EAC=22.5°，
故答案为：22.5°，22.5°；

（3）如图，

∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴EC×CF=AC²=2AB²=32
∴xy=32．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、角平分线的定义，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．