Question

3．已知关于x的一元二次方程x²-5mx=x-4m²-m．
（1）求证：无论m取任何实数，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根均不大于5，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据原方程的两个实数根均不大于5，列出不等式组，求出m的取值范围．

解答 解：（1）由原方程得到：x²-（5m+1）x+4m²+m=0．
∵△=（5m+1）²-4（4m²+m）=9m²-14m+1=（3m+1）²，
∵（3m+1）²是非负数，
∴△≥0．
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）由（1）得：x²-（5m+1）x+4m²+m=0，
左边因式分解，得：（x-m）（x-4m-1）=0，
∴x₁=m，x₂=4m+1，
由题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{m≤5}\\{4m+1≤5}\end{array}\right.$，
解得：m≤1．

点评 本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式组．