Question

5．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能分别在纵向滑槽内、横向滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．按如图所示建立平面直角坐标系．已知AB=10cm，
（1）画出的圆的半径为5cmcm；若端点B在画出的圆上，则在y轴的正半轴上的端点A的坐标为（0，5$\sqrt{3}$）；
（2）若端点A滑动到（0，-8）处时，求木棒中点P的坐标；
（3）若端点A只在y轴的负半轴上滑动，当端点B从（-5$\sqrt{3}$，0）处开始向右滑动到（5$\sqrt{2}$，0）处停止滑动时，分别求出木棒中点P与端点A的运动路径的长．

Answer 1

分析 （1）因为点P是AB的中点，△AOB是直角三角形，由直角三角形的性质得到OP的长，由勾股定理得到点A的坐标；
（2）由点A的坐标知OA的长度，从而求出OB，因为点P是AB的中点，由三角形中位线的性质得到点P到x轴、y轴的距离，从而求得点P的坐标；
（3）当端点B从（-5$\sqrt{3}$，0）处向右滑动到（5$\sqrt{2}$，0）处时，由勾股定理求得点B（-5$\sqrt{3}$，0）和（5$\sqrt{2}$，0）时，点P与点A的运动路径的长．

解答 解：（1）∵点P是AB的中点，△AOB是直角三角形，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
故圆的半径等于5；
∵点B在圆上，
∴OB=5∴OA=$\sqrt{{AB}^{2}{-OB}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴A（0，5$\sqrt{3}$）；
故答案为：圆的半径为 5cm，点A的坐标为 （0，5$\sqrt{3}$）

（2）如图（1）∵A（0，-8），
∴OA=8，
∴OB=$\sqrt{{AB}^{2}{-OA}^{2}}$=6，
∵点P是AB的中点，
∴点P到x轴、y轴的距离为4、3，
∴P（3，-4），P′（-3，-4）；

（3）如图2∵点B（-5$\sqrt{3}$，0），
∴OB=5$\sqrt{3}$，OA=5，
当点B滑动到点O时，点A运动了（10-5），
当点O滑动到点B'时，
OA'=$\sqrt{{10}^{2}{-（5\sqrt{2）}}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，点A运动了（10-5$\sqrt{2}$），
∴端点A的运动路径的长为：（10-5）+（10-5$\sqrt{2}$）=（15-5$\sqrt{2}$）cm，
∵sin∠OBA=$\frac{1}{2}$，∴∠OBA=30°，
∴∠BOP=30°，∠POA=60°，
同理可得：∠P'OA'=45°，
∴∠POP'=105°，
∴木棒中点P的运动路径的长为：$\frac{105•π•5}{180}$=$\frac{35π}{12}$cm，
∴点P与端点A的运动路径的长分别为$\frac{35}{12}π$cm、（15-5$\sqrt{2}$）cm．

点评 本题主要考查了圆的定义、圆弧的长度求法、直角三角形的性质、（2）、（3）考查了分类求解．