Question

16．如图，点M是正方形ABCD的边CD的中点，正方形ABCD的边长为4cm，点P按A→B→C→M的顺序在正方形的边上以每秒2cm的速度作匀速运动，设点P的运动时间为x（秒），△APM的面积为y（cm²）
（1）直接写出点P运动1秒时，△AMP面积；　
（2）在点P运动2秒后至4秒这段时间内，y与x的函数关系式；
（3）在点P整个运动过程中，当x为何值时，y=3？

Answer 1

分析 （1）先求出AB=BC=CD=AD=4，进而求出AP=2×1=2cm，再用三角形的面积得出S_△AMP=$\frac{1}{2}$AP•AD=4；
（2）先判断出点P在边BC上，由运动知，BP=2x-4，CP=8-2x，再求出DM=CM=2，最后利用面积的差即可得出结论；
（3）分三种情况，利用三角形的面积公式即可．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
当点P运动1秒时，AP=2×1=2cm．
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4；

（2）当x=2时，运动的路程为2×2=4cm，当x=4时，运动路程为4×2=8，
∴当2≤x≤4时，点P在BC边上，由运动知，BP=2x-4，CP=8-2x，
∵M为CD的中点，
∴DM=CM=2，
∴y=S_△AMP=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM
=AB²-$\frac{1}{2}$DM•AD-$\frac{1}{2}$AB•BP-$\frac{1}{2}$CM•CP
=16-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×（2x-4）-$\frac{1}{2}$×2×（8-2x）
=12-2x；

（3）∵y=3
当点P在AB边上时（0＜x＜2），如图1，AP=2x，
∴y=S_△APM=$\frac{1}{2}$AP×AD=$\frac{1}{2}$×2x×4=4x=3，
∴x=$\frac{3}{4}$，
当点P在BC边上时（2≤x≤4），如题干图，由（2）知，y=12-2x=3，
∴x=$\frac{9}{2}$（不符合题意，舍）
当点P在边CM上时（4＜x＜5），如图2，由运动知，PM=10-2x，
∴y=S_△APM=$\frac{1}{2}$PM×AD=$\frac{1}{2}$（10-2x）×4=3，
∴x=$\frac{17}{4}$，
即：满足条件的x的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{17}{4}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是求出AP，解（2）的关键是判断出点P哎边BC上，解（3）的关键是分类讨论，是一道中等难度的中考常考题．