Question

9．如图，在△ABC中，BC=2AB，BD为角平分线，∠ADB=45°，若AC=3$\sqrt{2}$，则线段BD的长为2．

Answer 1

分析 过B作BE⊥CA交CA的延长线于E，证明△AEB∽△BEC，问题即可得解．

解答 解：如图，过B作BE⊥CA交CA的延长线于E，
∴∠E=90°，
∵∠ADB=45°，∴∠EBD=45°，
∴BE=DE，
∴∠C=45°-∠3，∠1=45°-∠2，
∵BD为角平分线，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠C，
∵∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BE}{\frac{1}{2}BE+AC}=\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{{2BE}^{2}}$=2．
故答案为：2

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．