Question

已知一次函数y=-2x+c与二次函数y=ax²+bx-4的图象都经过点A（1，-1），二次函数的对称轴是x=-1
（1）请求出一次函数和二次函数的表达式；
（2）指出一次函数与二次函数的另一个交点B的坐标，并在所给坐标系中画出一次函数与二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围；
（4）若点P是直线y=-2x+c下方抛物线上一点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,待定系数法求一次函数解析式,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）由一次函数y=-2x+c与二次函数y=ax²+bx-4的图象都经过点A（1，-1），二次函数的对称轴直线是x=-1，直接利用待定系数法，即可求得一次函数和二次函数的表达式．
（2）首先联立一次函数与二次函数的解析式得：

y=-2x+1 y=x2+2x-4

，求得B点坐标，然后根据一次函数与二次函数的性质分别画出它们的图象；
（3）根据图象，即可求得二次函数值大于一次函数值的自变量x取值范围；
（4）设过P点的直线与直线AB平行，且抛物线与直线只有一个交点时，△ABP的面积最大，求出点P坐标，再过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，
再求△ABP的最大面积．

解答：解：（1）∵一次函数y=-2x+c与二次函数y=ax²+bx-4的图象都经过点A（1，-1），
∴将点（1，-1）代入一次函数y=-2x+c，
∴-1=-2+c，
解得：c=1，
∴一次函数的表达式为：y=-2x+1；
∵二次函数的对称轴直线是x=-1，
∴

- b 2a =-1 a-b-4=-1

，
解得：

a=1 b=2

，
∴二次函数的表达式为：y=x²+2x-4；

（2）联立一次函数与二次函数的解析式得：

y=-2x+1 y=x2+2x-4

，
解得：

x=-5 y=11

或

x=1 y=-1

．
所以一次函数与二次函数的另一个交点B的坐标为（-5，11），在所给坐标系中画出一次函数与二次函数的图象如下所示：


（3）根据图象，可知二次函数值大于一次函数值的自变量x取值范围是：x＜-5或 x＞1；

（4）设过点P且平行于直线y=-2x+1的直线为y=-2x+n，将y=-2x+n代入y=x²+2x-4，

整理，得x²+4x-4-n=0，
当△ABP面积最大时，△=4²-4（-4-n）=0，
解得n=-8，
由

y=-2x-8 y=x2+2x-4

，
解得

x=-2 y=-4

．
所以点P坐标为（-2，-4）．
过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H（-2，5），
∴PH=9，
∴S_△ABP=S_△AHP+S_△BHP=

1

2

×9×3+

1

2

×9×3=27，
则S_△ABPmax=27．

点评：此题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，函数交点问题，函数图象的画法．此题难度适中，注意掌握数形结合及方程思想的应用．