Question

△ABC中，AB=AC，
（1）如图1，以AC为直径的⊙M交BC，作DE⊥AB于E，求证：DE是⊙M的切线．
（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，若E是AB的中点，连OE，OE=

5

2

，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接MD，运用圆的性质证明DM∥AB，进而证明DE⊥DM即可解决问题；
（2）如图，作辅助线，运用等腰三角形的性质及三角形的面积公式证明AE=

2

5

AO，进而运用勾股定理即可解决问题．

解答：证明：（1）连接DM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MD=MC，
∴∠MDC=∠C，
∴∠B=∠MDC，
∴DM∥AB，∠MDE=∠BED，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠MDE=90°，
即DE⊥DM，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB、OC，OA，AO的延长线交BC于点D；
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
同理：由OB=OC知，
点O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=2；
∵S△ABO=

1

2

BD(AD-OD)=

1

2

BD•AO，
S△ABO=

1

2

AB•OE，
∴

1

2

BD•AO=

1

2

AB•OE，
∵AB=2AE，BD=2，OE=

5

2

，
∴AE=

2

5

AO；
由题意知：OE⊥AB，
根据勾股定：
AO²=AE²+OE²，
即R2=(

2

5

R)2+(

5

2

)2，
解得：R=

25 21

42

，
即⊙O的半径为

25 21

42

．

点评：该命题以圆和等腰三角形为载体，以切线的判定为考查的核心构造而成；同时还渗透了对等腰三角形的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用等几何知识点的考查．