Question

1．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=-m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax²（a＞0）的图象，如图所示．
（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？
（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=-4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．
（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-1）²+2的图象可以看作到定点A（1，3）的距离与它到定直线y=1的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．
（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据定义，MA=MB，列出等式，即可解决问题．
（2）利用（1）的结论，直接写出结果．
（3）根据定义，利用（1）的结论可以解决问题．
（4）如图所示，过点D作直线y=-4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短，求出点P坐标即可．

解答 解：（1）由定义可知，MA=MB，
∴x²+（y-m）²=（y+m）²，
∵y=ax²，
∴x²=$\frac{y}{a}$，
∴$\frac{y}{a}$=4my，
∴a=$\frac{1}{4m}$．

（2）由（1）可知，a=$\frac{1}{16}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{16}$x²．

（3）∵抛物线顶点坐标（1，2），a=1，
∴抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-1）²+2的图象可以看作到定点A（1，3）的距离与它到定直线y=1的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．
故答案为1，3，1．

（4）如图所示，过点D作直线y=-4的垂线垂足为M，与抛物线的交点就是的点P，此时PA+PD=PD+PM最短（垂线段最短），

此时点P坐标（1，$\frac{1}{16}$）．

点评 本题考查二次函数的综合题、解题的关键是理解题意，学会利用新的结论解决问题，属于中考创新题目．