Question

如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.

（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；

（2）在此抛物线上是否存在点,使得以

四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；

若不存在，说明理由.

Answer 1

解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x²+ax+b中，

得 解之，得 全所以抛物线的解析式为y=-x²+x+1.

当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

所以在△AOC中，AC==.

在△BOC中，BC==.

AB=OA+OB=.

因为AC²+BC²=.

所以△ABC是直角三角形。

（2）存在。

由（1）知，AC⊥BC,

① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，

可求得直线BC的解析式为.

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，

所以设直线AP的解析式为，

将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,

所以直线AP的解析式为.

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，

所以点P的纵坐标相等，即-x²+x+1=.

解得（不合题意，舍去）.

当x=时，y=.

所以点P的坐标为（，）.

② 若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，

可求得直线AC的解析式为.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x²+x+1=2x-4

解得（不合题意，舍去）.

当x=-时，y=-9.所以点P的坐标为（-，-9）.

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（-，-9）