题目内容
20．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+5与坐标轴分别交于点A，B，与直线y=2x交于点C，在线段OA上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点N从点A出发向点O做匀速运动，当点M，N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M，N作x轴的垂线，交直线OC，AB与点E，F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中以M，N，E，F为顶点的四边形总是矩形（点M，N重合除外）．（1）求点N的运动速度；
（2）探究当t为多少秒时，以M，N，E，F为顶点的矩形是正方形；
（3）探究当t为多少时，以M，N，E，F为顶点的矩形的面积S最大，并求出最大值．
分析 （1）根据直线y=-$\frac{1}{2}$x+5与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用FN∥BO，得出 $\frac{OB}{OA}$=$\frac{FN}{AN}$=$\frac{1}{2}$，据此可以求得点N的运动速度；
（2）当MN=NF、MN=EM时，以M，N，E，F为顶点的矩形是正方形，分别求出即可；
（3）根据（2）中所求得出S与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．
解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+5与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=5，y=0时，x=10，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，
当t秒时，MO=t，则FN=EM=2t，
∵FN∥BO，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{FN}{AN}$=$\frac{1}{2}$，
∴AN=4t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒4个单位长度；
（2）如图1，当MN=FN时，矩形MNFE为正方形，
则∵MO=t，AN=4t，
∴MN=10-t-4t=10-5t，
∴8-3t=2t，
解得：t=$\frac{8}{5}$；
如图2，当MN=EM时，矩形MNFE为正方形，
∵OM=t，NA=4t，
∴ON=10-4t，
∴MN=t-（10-4t）=5t-10，
∴2t=5t-10，
解得：t=$\frac{10}{3}$．
综上所述，当t=$\frac{8}{5}$或t=$\frac{10}{3}$时，以M，N，E，F为顶点的矩形是正方形；
（3）如图1，当M在N点的左边时，由（2）知，MN=10-5t，
则S=MN•EM=（10-5t）•2t=-10t2+20t=-10（t-1）2+10．
当t=1时，
S最大值=10；
如图2，当M在PN的右边时，
∵OM=t，NA=4t，
∴4t＞10-t，
∴t＞2．
∴MN=t-（10-4t）=5t-10，
∴S=MN•EM=（5t-10）•2t=10t2-20t=10（t-1）2-10，
∵当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴2＜t≤2.5，
当t=2.5时，S最大值=12.5，
综上所述，当t=2.5时，S的最大值为：12.5．
点评 此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．
| A． | 直角三角形 | B． | 正五边形 | C． | 菱形 | D． | 平行四边形 |
| A． | $\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$ | C． | 3$\sqrt{2}$ | D． | 3$\sqrt{3}$ |
| A． | k＜4 | B． | k＞4 | C． | k＜0 | D． | k＞0 |
如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为1．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交C（5，6）．