Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB，AB的中点，连接CF并延长，与DA的延长线交于点M，连接DE交CF于点P，连接AP，则有下列结论：①∠BCF=∠CDE；②AP=AD：③CM=CD+DE；④S_△CDM=5S_{四边形EPFB}，其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理,正方形的性质

专题：

分析：根据正方形的性质，即可得∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，又由E、F分别是CB，AB的中点，利用SAS即可判定△DCE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等，即可判定①正确；根据全等三角形对应角相等，即可得DE⊥CF，再利用ASA证得△BCF≌△AMF，即可得到AD=AM，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可判定②正确；由△DCE≌△CBF，可得CF=DM，根据直角三角形的性质，可得FM＞AM，即FM＞CD，可判定③错误；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可判定④正确．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，
∵E、F分别是CB，AB的中点，
∴BF=

1

2

AB，CE=

1

2

BC，
∴BF=CE，
∴△DCE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，
故①正确；
∵∠CDE+∠CEP=90°，
∴∠BCF+∠CEP=90°，
∴∠CPE=90°，
即CF⊥DE，
∵BF=AF，∠B=∠BAM=90°，∠BFC=∠AFM，
∴△BCF≌△AMF（ASA），
∴AM=BC，
∴AD=AM，
∴AP=AD，
故②正确；
∵△DCE≌△CBF，
∴CF=DE，
∵∠FAM=90°，
∴FM＞AM，
即FM＞CD，
∴CM=CF+FM=DE+FM＞CD+DE；
故③错误；
设CE=a，S_△CDM=b，则BC=2a，AB=AD=AM=CD=2a，BF=AF=a，
∴MD=AD+AM=4a，
∴CF=

BC2+BF2

=

5

a，
∵∠BCF=∠PCE，∠B=∠CPE=90°，
∴△CPE∽△CBF，
∴

S△CPE

S△CBF

=(

CE

CF

)2，
∴S_△CDM=5b，
∴S_{四边形EPFB}=4b，
∵BC∥AD，
∴△CPE∽△MPD，
∴

S△CPE

S△MPD

=(

CE

MD

)2=

1

16

，
∴S_△MPD=16b，
∵

S△CPE

S△CPD

=

PE

PD

 =

CE

DM

=

1

4

，
∴S_△CPD=4b，
∴S_△CDM=S_△CPD+S_△MPD=4b+16b=20b，
∴S_△CDM=5S_{四边形EPFB}．
故④正确．
∴其中正确的结论有①②④．
故选C．

点评：此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意相似三角形与全等三角形的判定，以及其性质的灵活应用．