Question

如图，⊙O是△BCE的外接圆，BC为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，过点A作AD⊥CE，垂足为D，连接AB与CE相交于点F，∠ABC=45°．
（1）求证：AD=CE；
（2）若DE=8，tan∠BCE=

1

3

，求AF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）首先证明△ABC是等腰直角三角形，然后证明△CBE≌△CAD，即可证得；
（2）易证△BEF∽△ADF，设CD=x，EF=y，DF=2x-y，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x和y的关系，然后根据DE=8，即可求得x的值，进而求得AF的长．

解答：（1）证明：∵∠ABC=45°，AC为⊙O的切线，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC=CB，
∵∠ECB+∠DCA=∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠ECB=∠DAC，
则在△CBE和△CAD中，

∠ECB=∠DAC ∠BEC=∠CDA AC=CB

，
∴△CBE≌△CAD（AAS），
∴AD=CE；
（2）解：∵∠BEF=∠ADF，∠EFB=∠AFD，
∴△BEF∽△ADF，
∴

EF

FD

=

BE

AD

，设CD=x，EF=y，则DF=2x-y，
则

y

2x-y

=

x

3x

，
∴x=2y，
∵ED=8，即2x=8，则x=4，
FD=

3

2

x=6，AD=12，
AF=

5

FD=6

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确利用x、y表示出DF是关键．