Question

如图所示，直线EF过长方形ABCD的对称中心，交AD于点F，交BC于点E，若BE=2CE，求证：BF=EF．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：如图，作辅助线，证明△DOF≌△BOE，借助矩形的性质证明AF=GF；进而证明△ABF≌△GEF，问题即可解决．

解答：解：如图，过点E作EG⊥AD于点G；
连接BD，交EF于点O．
则点O为长方形ABCD的对称中心，
四边形ECDG为矩形，
∴BO=DO，DG=EC；
∵四边形ABCD为矩形，
∴DF∥BC，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DOF与△BOE中，
∵

∠FDO=∠EBO DO=BO ∠DOF=∠BOE

，
∴△DOF≌△BOE，
∴DF=BE=2CE，而DG=CE，
∴DF=2DG，
∴GF=DG；
∵AD=BC=3EC=3DG，
∴AF=GF；
在△ABF与△GEF中，
∵

AB=GE ∠BAF=∠EGF AF=GF

，
∴△ABF≌△GEF，
∴BF=EF．

点评：该命题以矩形为载体，以矩形的性质及全等三角形的判定及其性质的考查为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．