Question

16．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．
（1）当D点与B点重合时，AC=6；
（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB-2PC的值；
（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）由（1）得AC=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，根据线段的和差即可得到结论；
（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．

解答 解：（1）当D点与B点重合时，AC=AB-CD=6；
故答案为：6；

（2）由（1）得AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵点P是线段AB延长线上任意一点，
∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=$\frac{1}{2}$AB+PB，
∴PA+PB-2PC=AB+PB+PB-2（$\frac{1}{2}$AB+PB）=0；

（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB+BC）=8，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD+BC）=5，
∴MN=AD-AM-DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB-BC）=4，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．