Question

2．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD=6，BC=CD，∠BCD=120°，点M、N分别在AB、AD上，且∠MCN=60°．
（1）画出△BCM绕点C顺时针旋转120°后的图形△B′CM′；
（2）求△AMN的周长．

Answer 1

分析 （1）延长ND到M′，使DM′=BM，然后连接CM′，△B′CM′即为所求；
（2）根据旋转的性质可得∠BCM=∠B′CM′，CM=CM′，然后求出∠MCN=∠M′CN=60°，然后利用“边角边”证明△MCN和△M′CN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而求出△AMN的周长=AB+AD．

解答 解：（1）△B′CM′如图所示；

（2）∵△B′CM′是△BCM旋转得到，
∴∠BCM=∠B′CM′，CM=CM′，
∴∠MCN=∠M′CN=60°，
在△MCN和△M′CN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM′}\\{∠MCN=∠M′CN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△M′CN（SAS），
∴MN=M′N，
∴△AMN的周长=AM+MC+AN=AM+AN+M′N=AM+AN+DN+DM′=AM+AN+DN+BM=（AM+BM）+（AN+DN）=AB+AD，
∵AB=AD=6，
∴△AMN的周长=AB+AD=6+6=12．

点评 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于（2）确定出全等三角形并求出△AMN的周长=AB+AD．