题目内容

5．阅读下面材料：
小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα=$\frac{1}{2}$，求tan2α的值．
小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含
锐角α的直角三角形：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α．她通
过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方法：
方法1：如图2，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．
方法2：如图3，以直线BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
方法3：如图4，以直线AB为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC．
…

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）

分析 根据勾股定理和解直角三角形的解法解答即可．

解答 解：方法1：

∵线段AB的垂直平分线BC交于点D，
AD=BD，
∴∠1=∠B，
∵∠B=α，
∴∠2=∠1+∠B=2α，
在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，
设AC=k，DC=x，则AD=BD=2k-x，
在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得，k2+x2=（2k-x）2，
解得：$x=\frac{3k}{4}$，
∴$tan2α=\frac{AC}{DC}=\frac{k}{\frac{3k}{4}}=\frac{4}{3}$．

点评 此题考查解直角三角形问题，关键是根据勾股定理解答．

练习册系列答案
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14．已知∠AOB=100°，射线OC在∠AOB的内部，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．

（1）如图1，若∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
（2）请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择A题．
A．如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为50°．
B．若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC、∠BOC均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，直接写出∠EOF的度数．
16．如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，∠ACB=90°，AB=40cm，CD⊥AB．现在沿着CD方向裁出三张宽度相等的长方形纸条．若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2所示，已知镶边后的正方形EFGH的面积是400cm2，则裁出的三条长方形纸条的宽度是5cm．
13．小明同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，求AC的长．

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（2）求AC的长．
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20．甲乙两人做游戏，游戏规则如下：口袋中装着标有 1、2、3 的三个球（除标号 外其余特征相同），甲先摸出一个球，记下数字后放回口袋中搅拌均匀，然后乙再 摸出一个球并记下数字，规定谁的数字大谁获胜．请你利用树状图或列表的方法分 析游戏规则对双方是否公平，并说明理由．
10．如图：小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB与AD，使他们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．试利用全等知识，说明角平分仪的画图原理．
17．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，
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（2）根据（1）的作图方法说明∠AOC=∠BOC理由．
14．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其图象的对称轴是直线x=1，且过点A（3，0），则下列结论正确的是（　　）
A．ac＞0B．4a+2b+c＜0C．a-b+c＞0D．b2＞4ac
15．如图，把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG的度数是（　　）
A．30B．28C．20D．18

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