题目内容
(2006，长沙)如图1，已知直线
与抛物线
交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求线段A、B的垂直平分线的解析式；
(3)如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
答案：略
解析：
解析：
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(1) 解：依题意得
解之得  
∴A(6 ，－3)、B(－4，2)；(2) 作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C、D两点，交AB于M(如图1)．由 (1)可知 ， ，
∴  ．
过 B作BE⊥x轴，E为垂足．由 △BEO∽△OCM，得 ， ，
同理  ，∴ 、 ．
设 CD的解析式为y=kx＋b(k≠0)，∴ 
∴AB 的垂直平分线的解析式为 ；
(3) 若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线 上，并设该直线与x轴，y轴交于G、H两点(如图2)．
∴ ∴ ∵ 抛物线与直线只有一个交点，∴ ∴  ．
∴ 直线GH的解析式为 ，
∴  ，∴ ．
设 O到GH的距离为d，∴ ∴  ．
∵AB∥GH ，∴P 到AB的距离等于O到GH的距离d，∴ |
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；
