题目内容
20．问题情境：在△ABC中，BA=BC，∠ABC=α（0°＜α＜180°），点D为BC边上一点（不与点B，C重合），DF∥AB交直线AC于点F，连接AD，将线段DA绕点D顺时针方向旋转得到线段DE（旋转角为α），连接CE．
（1）特例分析：如图1．若α=90°，则图中与△ADF全等的一个三角形是△EDC，∠ACE的度数为90°．
（2）类比探究：请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择A题．
A：如图2，当α=50°时，求∠ACE的度数；
B：如图3，当0°＜α＜180°时，
①猜想∠ACE的度数与α的关系，用含α的式子表示猜想的结果，并证明猜想；
②在图3中将“点D为BC边上的一点”改为“点D在线段CB的延长线上”，其余条件不变，请直接写出∠ACE的度数（用含α的式子表示，不必证明）
分析 （1）若α=90°，则∠ADE=∠ABC=90°，由三角形的外角性质得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE，证出∠BAD=∠CDE，由平行线的性质得出∠FDA=∠BAD，∠DFC=∠BAC，证出∠CDE=∠FDA，由等腰三角形的性质证出∠DFC=∠BCA，得出DF=DC，由旋转的性质得出DE=DA，由SAS证明△ADF≌△EDC，得出∠E=∠DAF，再由三角形内角和定理得得出∠E+∠ACE=∠DAF+∠ADE，即可得出∠ACE=∠ADE=90°；
（2）选择A；同（1）证出△ADF≌△EDC，得出∠E=∠DAF，由三角形内角和定理得出∠E+∠ACE=∠DAF+∠ADE，得出∠ACE=∠ADE=α=50°即可．
B：同A证出△ADF≌△EDC，得出∠AFD=∠ECD，得出∠AFD=180°-∠DFC=90°+$\frac{1}{2}$α，因此∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$α，得出∠BCA+∠ACE=90°+$\frac{1}{2}$α，求出∠ACE=α即可，即∠②∠ACE=180°-α；理由同①．
解答 解：（1）图中与△ADF全等的一个三角形是△EDC；理由如下：
若α=90°，则∠ADE=∠ABC=90°，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵DF∥AB，
∴∠FDA=∠BAD，∠DFC=∠BAC，
∴∠CDE=∠FDA，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠DFC=∠BCA，
∴DF=DC，
由旋转的性质得：DE=DA，
在△ADF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DA}&{\;}\\{∠CDE=∠FDA}&{\;}\\{DC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴∠E=∠DAF，
由三角形内角和定理得：∠E+∠ACE=∠DAF+∠ADE，
∴∠ACE=∠ADE=90°；
故答案为：△EDC，90；
（2）选择A；∵∠ADE=∠ABC=α，∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵DF∥AB，
∴∠FDA=∠BAD，∠DFC=∠BAC，
∴∠CDE=∠FDA，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠DFC=∠BCA，
∴DF=DC，
由旋转的性质得：DE=DA
在△ADF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DA}&{\;}\\{∠CDE=∠FDA}&{\;}\\{DC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴∠E=∠DAF，
由三角形内角和定理得：∠E+∠ACE=∠DAF+∠ADE，
∴∠ACE=∠ADE=α=50°；
故答案为：A．
B、①∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=α，
∴∠BAC+∠BCA=180°-α，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$α，∠FDC=∠B=α，
∴∠DFC=∠BCA，
∴DF=DC，
∵DE由DA旋转α所得，
∴DE=DA，∠ADE=α，
∴∠ADF+∠EDF=α，
∵∠CDE+∠EDF=α，
∴∠ADF=∠CDE，
在△ADF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DA}&{\;}\\{∠CDE=∠FDA}&{\;}\\{DC=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴∠AFD=∠ECD，
∵∠AFD=180°-∠DFC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠BCA+∠ACE=90°+$\frac{1}{2}$α，
∵∠BCA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠ACE=90°+$\frac{1}{2}$α-（90°-$\frac{1}{2}$α）=α，
即∠ACE=α；
②∠ACE=180°-α．
点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
名校课堂系列答案| A． | $\frac{15}{100}$ | B． | $\frac{20}{100}$ | C． | $\frac{25}{100}$ | D． | $\frac{30}{100}$ |
| A． | 两种客车总的载客量不少于500人 | |
| B． | 两种客车总的载客量不超过500人 | |
| C． | 两种客车总的载客量不足500人 | |
| D． | 两种客车总的载客量恰好等于500人 |
如图是某冷饮店一天售出各种口味雪糕量的扇形统计图，其中售出红豆口味的雪糕160支，那么巧克力口味雪糕售出的数量是80支．