Question

如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A₁B₁C，求：
（1）

AA1

的长；
（2）在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA₁的面积；
（3）在这个旋转过程中三角板所扫过的图形面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）由三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，可求得BC的长，继而求得AC的长，然后利用弧长公式，即可求得

AA1

的长；
（2）直接利用扇形的面积公式求解即可求得答案；
（3）由三角板所扫过的图形面积=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD，即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
根据勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

22-12

=

3

，
∴

AA1

的长=

90•π• 3

180

=

3

2

π；

（2）扇形ACA₁的面积=

90•π•( 3 )2

360

=

3

4

π；

（3）设

BB1

与AB相交于D，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴三角板所扫过的图形面积=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD
=

60•π•12

360

+

90•π•( 3 )2

360

+

3

4

=

11

12

π+

3

4

．

点评：此题考查了旋转的性质、扇形的面积公式以及弧长公式等知识．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．