Question

16．如图1，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$和一次函数y=x+3的图象相交于A、B（-1，m）两点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）如图（2），若直线y=x+3沿y轴向下平移后与该反比例函数的图象在第四象限交于点C（1，n），与y轴交于点E，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将B（-1，m）代入y=x+3，求出m=-1+3=2，即B（-1，2），再将B点坐标代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数与反比例函数的解析式联立，解方程组求出A点坐标为（-2，1），再求出C（1，-2）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-1，设直线AC与x轴交于点D，直线AB与x轴交于点F，则D（-1，0），F（-3，0），根据△ABC的面积=△OBF的面积-△ADF的面积+△ODC的面积即可求解．

解答 解：（1）∵一次函数y=x+3的图象经过点B（-1，m），
∴m=-1+3=2，
∴B（-1，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过B（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
∴该反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$；

（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则A（-2，1）．
∵反比例函数y=-$\frac{2}{x}$过点C（1，n），
∴n=-2，
∴C（1，-2）．
设直线AC的解析式为y=ax+b，
∵A（-2，1），C（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=1}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-1．
设直线AC与x轴交于点D，直线AB与x轴交于点F，则D（-1，0），F（-3，0），如图．
△ABC的面积=△OBF的面积-△ADF的面积+△ODC的面积
=$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×1×2
=3-1+1
=3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识．综合性较强，难度适中．