Question

10．抛物线y=x²-mx-3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1+m，0）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）设点A关于y轴的对称点为点E，抛物线的顶点D关于直线y=-1的对称点为点F，记抛物线在A、B之间的部分图象G（包含A、B两点），如果将图象G向上平移k个单位后，图象G与直线EF恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，再配成顶点式，即可确定出顶点坐标；
（2）先利用对称性得出点E，F坐标，再根据（1）得出的，画出抛物线的图象，和图象G的变化情况图，最后借助图象得出k的范围，注意用直线和抛物线只有一个交点时的k值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-mx-3与x轴交于点A（1+m，0）、B，
∴（m+1）²-m（m+1）-3=0，
∴m=-1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，-4），
（2）如图，

∵点A（-1，0）关于y轴的对称点为点E，
∴E（1，0），
∵点D关于直线y=-1的对称点为点F，
∴F（-3，4），
由图象有，-2≤k＜2或$\frac{17}{4}$．

点评 本题是抛物线与x轴的交点题目，主要考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数、二次函数解析式．在求有关于平移的题目时，一定要数形结合，这样可以使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度与梯度．