Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，点D在AC边上，过D作DE⊥AC于D，且DE=2DC，联结CE、AE、BD，延长BD交AE于F，求证：BD•CE=AE•CD．

Answer 1

分析 先证明△ABC∽△EDC，得出$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$，∠BCD=∠ACE，证出△BCD∽△ACE，得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 证明：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴$\frac{AB}{BC}$=2，
∵DE⊥AC于D，且DE=2DC，
∴$\frac{DE}{DC}$=2，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$，∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{CD}{CE}$，
∴BD•CE=AE•CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似是解决问题的关键．