Question

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

项 目 类 别	年固定 成本	每件产品 成本	每件产品 销售价	每年最多可 生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计6≤m≤8．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其自变量取值范围；

（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

Answer 1

解：（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润y₁，y₂分别为：

y₁=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，（0≤x≤200），

y₂=18x﹣（40+8x）﹣0.05x²=﹣0.05x²+10x﹣40，（0≤x≤120）；

（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y₁=（10﹣m）x﹣20，为增函数，

又∵0≤x≤120，∴当x=200时，生产A产品有最大利润为（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）

又∵y₂=﹣0.05x²+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）²+460，（0≤x≤120）

∴当x=100时，生产B产品有最大利润为460（万美元）

现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

∵生产A产品最大利润为1980﹣200m（万美元），生产B产品最大利润为460（万美元），

∴（1980﹣200m）﹣460=1520﹣200m，且6≤m≤8，

当1520﹣200m＞0时，6≤m＜7.6，

当1520﹣200m=0时，m=7.6，

当1520﹣200m＜0时，7.6＜m≤8，

所以：当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；

当m=7.6时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．