Question

7．在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，请说明：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？成立（填“成立”
或“不成立”）

Answer 1

分析 （1）由∠QCA=∠PCB，CA=CB，∠CAQ=∠CBP，根据ASA即可证明；
（2）成立．只要证明∠P=∠Q，∠BCP=∠ACQ，CB=CA即可根据AAS证明；

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QCA=∠PCB}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠CBP}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ．

（2）成立．
理由：∵∠ACQ=∠ADP=90°，∠DAP=∠CAQ，
∴∠APD=∠Q，
在△ACQ和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠Q}\\{∠BCP=∠QCA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ．
故答案为成立．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、同角或等角的余角相等等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，属于中考常考题型．