Question

12．如图①，在矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图②，图③，图④中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．
理解与作图：
（1）在图②，图③中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．
计算与猜想：
（2）求图②，图③中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
证明：
（3）利用如图④，证明（2）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据反射四边形的定义即可得；
（2）利用勾股定理分别求得各边的长度，由周长公式求解可得．
（3）延长HE交CB的延长线于N，延长HG交BC的延长线于M．作HK⊥BC于K．由△GCF≌△GCM，可得GF=GM，FC=CM，同理：EF=EN，BF=BN，想办法求出HM即可解决问题；

解答 解：（1）如图所示，四边形EFGH即为所求；


（2）在图②中，EF=FG=GH=HE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2 $\sqrt{5}$，
∴反射四边形EFGH的周长为8 $\sqrt{5}$；
在图③中，EF=GH=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，HE=GF=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3 $\sqrt{5}$，
∴反射四边形EFGH的周长为2×$\sqrt{5}$+2×3 $\sqrt{5}$=8 $\sqrt{5}$．
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长是定值，定值为8$\sqrt{5}$．

（3）延长HE交CB的延长线于N，延长HG交BC的延长线于M．

∵∠1=∠2=∠5，GC=GC，∠GCF=∠GCM=90°
∴△GCF≌△GCM，
∴GF=GM，FC=CM，
同理：EF=EN，BF=BN，
∴MN=2BC=16，
∵∠M=90°-∠5=90°-∠1，∠N=90°-∠3，∠1=∠3，
∴∠M=∠N，
∴HM=HN，
过点H作HK⊥BC于K．则HK=AB=4，KM=$\frac{1}{2}$MN=8，
∴HM=HN=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+HG+EH=EN+EH+GH+HM=HN+HM=8$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键．