Question

18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求cosB的值；
（2）如果CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求BE的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，由勾股定理得AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AH，即可求得结果；
（2）根据cosB=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可求得AC，再根据△ABC∽△ACH，得到$\frac{AH}{CH}$=$\frac{BC}{AC}$=2，求出BC=2AC=4，CE=AC•tan∠CAE=1，即可得到结果BE=BC-CE=3．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AH，
∴cosB=cos∠CAE=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）∵CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AH}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=2，
∵∠ACB=∠AHC=90°，∠B=∠CAE，
∴△ABC∽△ACH，
∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{BC}{AC}$=2，
∴BC=2AC=4，
∴CE=AC•tan∠CAE=1，
∴BE=BC-CE=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟记定理是解题的关键．