Question

16．如图一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A（-4，2）、B（1，a）两点，且与x轴交于点C．
（1）试确定上述两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先把A（-4，2）代入反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，求出k的值进而求出反比例函数的解析式，由B点在此反比例函数上可求出此点坐标，把A、B两点坐标代入y=mx+n即可求出一次函数的解析式；
（2）根据直线与坐标轴交点的特点可求出C点坐标，再由A、B两点的坐标及S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC即可解答，
（3）根据图象即可得到结果．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，因为经过A（-4，2），
∴k=-8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{-8}{x}$．
因为B（1，a）在y=$\frac{-8}{x}$上，
∴a=-8，
∴B的坐标是（1，-8）
把A（-4，2）、B（1，-8）代入y=mx+n，得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=2}\\{m+n=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-6．
（2）y=-2x-6中，
∵当y=0时，x=-3，
∴直线y=-2x-6和x轴交点是C（-3，0），
∴OC=3，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×6=15；
（3）由图象知当-4＜x＜0，或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评 本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，熟知用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式及三角形的面积公式是解答此题的关键．