Question

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

解答：解：（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，
则w=（x-20）（-10x+500）
=-10x²+700x-10000；

（2）w=-10x²+700x-10000
=-10（x-35）²+2250，
所以，当x=35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）方案A：由题可得20＜x≤30，
因为a=-10＜0，对称轴为x=35，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
所以，当x=30时，w取最大值为2000元，
方案B：由题意得

x≥45 250-10(x-25)≥10

，
解得：45≤x≤49，
在对称轴右侧，w随x的增大而减小，
所以，当x=45时，w取最大值为1250元，
因为2000元＞1250元，
所以选择方案A．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=

b

2a

时取得．