Question

设p，q均为自然数，且

p

q

=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

5

-…-

1

18

+

1

19

，求证：29|p．

Answer 1

分析：此题的关键是把已知条件进行变形，变成（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

19

）-2（

1

2

+

1

4

+…+

1

18

），再进行分解，利用质数的定义得出．

解答：证明：注意到29是质数．令a=10×11××19．

p

q

=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

5

-…-

1

18

+

1

19

，
=（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

19

）-2（

1

2

+

1

4

+…+

1

18

），
=（

1

2

+

1

3

+…+

1

19

）-（1+

1

2

+…+

1

9

），
=

1

10

+

1

11

+…+

1

19

，
=（

1

10

+

1

19

）+（

1

11

+

1

18

）+…+（

1

14

+

1

15

），
=29（

1

19×10

+

1

11×18

+…+

1

14×15

），
∴ap=29q•b，
其中b=a（

1

10×19

+

1

11×18

+…+

1

14×15

）是整数，
∵29|a•p，29是质数，29|a．
∴29|p．

点评：此题主要考查了数的整除性的性质，做题时注意变形的应用，题目难度较大．