Question

11．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（0，1）、B（4，1）、C（4，4），抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A、B，点P、M分别在AB、CD边上，点P不与点A重合，且MC=2AP，分别过点P、M作y轴的平行线，分别交抛物线于点Q、N，分别以PQ，MN为斜边向左作等腰直角△PQR和等腰直角△MNS，设PA=m．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当△PQR≌△MNS时，求m的值．
（3）求PQ+MN最小时m的值．
（4）当△PQR的一边与△MNS的一边共线时，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据全等三角形的判定，可得PQ=MN，根据解方程，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案；
（4）由题意P（m，1）．Q（-$\frac{1}{2}$m²+2m+1），M（4-2m，4），N[4-2m，-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+2（4-2m）+1]，易知直线RQ是解析式为y=x-$\frac{1}{2}$m²+m+1，直线SM的解析式为y=x+2m，直线PR的解析式为y=-x+m+1，直线SN的解析式为y=-x-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+3（4-2m）+1，分三种情形解决问题①当Q与N重合时，△PQR的一边与△MNS的一边共线，此时m+2m=4，m=$\frac{4}{3}$，②当RQ与SM共线时，-$\frac{1}{2}$m²+m+1=2m，③当PR与SN共线时，m+1=-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+3（4-2m）+1，解方程即可解决问题；

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（1，0）、B（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-8+4b+c=1}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+1；

（2）要使△PQR≌△MNS，只需使PQ=MN，
∴-$\frac{1}{2}$m²+2m+1-1=4-[-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+2（4-2m）+1]，
整理，得5m²-12m+6=0，解得m₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{5}$，m₂=$\frac{6-\sqrt{6}}{5}$，
当m₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{5}$或$\frac{6-\sqrt{6}}{5}$时，△PQR≌△MNS；

（3）PQ+MN=-$\frac{1}{2}$m²+2m+1-1+4-[-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+2（4-2m）+1]，
整理，得PQ+MN=$\frac{3}{2}$m²-2m+3=$\frac{3}{2}$（m-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{7}{3}$其中0＜m＜2．
∵a=$\frac{3}{2}$＞0，且0＜$\frac{2}{3}$＜2．
当m=$\frac{2}{3}$时，PQ+MN最小，最小值是$\frac{7}{3}$；

（4）由题意P（m，1）．Q（-$\frac{1}{2}$m²+2m+1），M（4-2m，4），N[4-2m，-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+2（4-2m）+1]，
∴直线RQ是解析式为y=x-$\frac{1}{2}$m²+m+1，直线SM的解析式为y=x+2m，
直线PR的解析式为y=-x+m+1，直线SN的解析式为y=-x-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+3（4-2m）+1，
①当Q与N重合时，△PQR的一边与△MNS的一边共线，
此时m+2m=4，m=$\frac{4}{3}$，
②当RQ与SM共线时，-$\frac{1}{2}$m²+m+1=2m，整理得m²+2m-2=0，解得m=$\sqrt{3}$-1或-$\sqrt{3}$-1（舍弃），
③当PR与SN共线时，m+1=-$\frac{1}{2}$（4-2m）²+3（4-2m）+1，整理得2m²-m-4=0，解得m=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（舍弃），
综上所述，满足条件的m的值为m=$\frac{4}{3}$，m=$\sqrt{3}$-1或$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的性质、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程或一次函数解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．