Question

8．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=2$\sqrt{3}$，那么△EFG的周长为12．

Answer 1

分析 连接BC′，作FH⊥BC于H，则D′在BC′上，FH=AB=2$\sqrt{3}$，由翻折的性质得出CE=C′E，证明△EFG是等边三角形，得出EF=FG=EG，∠FEG=60°，由三角函数求出EF，即可得出△EFG的周长．

解答 解：连接BC′，作FH⊥BC于H，如图所示：则D′在BC′上，FH=AB=2$\sqrt{3}$，由翻折的性质得，CE=C′E，
∵BE=2CE，
∴BE=2C′E，
又∵∠C′=∠C=90°，
∴∠EBC′=30°，
∵∠FD′C′=∠D=90°，
∴∠BGD′=60°，
∴∠FGE=∠BGD′=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AFG=∠FGE=60°，
∴∠EFG=$\frac{1}{2}$（180°-∠AFG）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=FG=EG，∠FEG=60°，
在Rt△EFH中，EF=$\frac{AB}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴△EFG的周长=3EF=12．

点评 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．