Question

7．已知：抛物线y=x²+bx+c的对称轴x=1，与x轴交于A，B两点，且A（-1，0）．与y轴交于点C，直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点且y轴平分△CPQ的面积．求k的值．

Answer 1

分析 根据抛物线y=x²+bx+c的对称轴x=1，与x轴交于A，B两点，且A（-1，0），可以求得点B的坐标，从而可以得到抛物线个的解析式，由直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点且y轴平分△CPQ的面积，可知点P、Q的横坐标互为相反数，将一次函数与二次函数联立，根据两根之和等于0，可以求得k的值．

解答 解：∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴x=1，与x轴交于A，B两点，且A（-1，0），
∴点B为（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}+3b+c=0}\\{（-1）^{2}-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∵直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点且y轴平分△CPQ的面积，
∴点P、Q的横坐标互为相反数，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，
∴x²-（2+k）x-2=0，
设x²-（2+k）x-2=0的两根为x₁，x₂，则这两个根互为相反数，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{-（2+k）}{1}=0$，
解得，k=-2，
即k的值是-2．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．