Question

19．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．P为四边形ABCD边上的任意一点，当∠BPC=30°时，CP的长为2或2$\sqrt{3}$或4．

Answer 1

分析 如图，连接AC．首先证明△ACD是等边三角形，分三种情形讨论即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC．

∵BC∥AD，∠DCB=120°，
∴∠D+∠DCB=180°，
∴∠D=60°，
∵DC=DA，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠BAC=30°，
∴当P₃与A重合时，∠BP₃C=30°，此时CP₃=4，
作CP₂⊥AD于P₂，则四边形BCP₂A是矩形，
易知∠CP₂B=30°，此时CP₂=2$\sqrt{3}$，
当CB=CP₁时，∠CP₁B=∠CBP₁=30°，此时CP₁=2，
综上所述，CP的长为2或2$\sqrt{3}$或4．
故答案为2或2$\sqrt{3}$或4．

点评 本题考查等边三角形的判定、矩形的判定、30度的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．