Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．
（1）证明四边形ADCE是矩形．
（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=

1

2

AB．
（3）若使四边形ADCE是正方形，那么△ABC需添加一个条件

 

（请直接写出该条件）．

Answer 1

考点：矩形的判定,三角形中位线定理,正方形的判定

专题：

分析：（1）首先得到四边形ADCE是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可；
（2）根据四边形ADCE是矩形得到四边形ABDE为平行四边形，从而判定OD∥AB，然后利用矩形的性质得到OD=

1

2

AB；
（3）利用邻边相等的矩形是正方形判定即可．

解答：（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴AE=CD，
∵DC=BD，
∴AE=BD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴OD∥AB，
∵DO=

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2

AC，AC=AB，
∴OD=

1

2

AB，
∴OD∥AB且OD=

1

2

AB；

（3）∵要使得矩形ADCE是矩形，则AD=CD，
∴∠CAD=∠BAD=45°，
∴△BAC是等腰直角三角形，
∴若使四边形ADCE是正方形，那么△ABC需添加一个条件△BAC是等腰直角三角形．

点评：本题考查了矩形的判定、三角形的中位线及正方形的判定，解题的关键是了解矩形的判定定理，难度不大．