Question

7．如图，抛物线y=-x²+2x+1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C，在x轴上有线段PQ=4，可以在x轴上左右运动，连接DP、CQ．当四边形PQCD的周长最小时，最小值为4$\sqrt{2}$+4．

Answer 1

分析 如图，将点D向右平移4个单位得到D′，作D′关于x轴的对称点D″，连接CD″与x轴交于点Q′，此时D→P′→Q′→C→D，组成的四边形周长最小．根据此时四边形PQCD的周长最小值=DP′+P′Q′+Q′C+CD=BD′+Q′C+PQ+CD=CD″+PQ+CD计算即可．

解答 解：如图，将点D向右平移4个单位得到D′，作D′关于x轴的对称点D″，连接CD″与x轴交于点Q′，此时D→P′→Q′→C→D，组成的四边形周长最小．

∵D（0，1），C（1，2），D′（4，1），D″（4，-1），
此时四边形PQCD的周长最小值=DP′+P′Q′+Q′C+CD=BD′+Q′C+PQ+CD=CD″+PQ+CD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$+4+$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=4$\sqrt{2}$+4．
故答案为4$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短问题，平行四边形的性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用对称以及平行四边形的性质找到最短路线，属于中考常考题型．