Question

△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD  （2）CM=CN  （3）△CMN为等边三角形  （4）MN∥BC

 

Answer 1

证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形， ∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中， AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC  ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴AE=BD

（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN． ∵△DAC、△EBC均是等边三角形， ∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°． 又点A、C、B在同一条直线上， ∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，即∠DCN=60°． ∴∠ACM=∠DCN． 在△ACM和△DCN中， ∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN ∴△ACM≌△DCN（ASA）． ∴CM=CN．

(3)由（2）可知CM=CN,∠DCN=60° ∴△CMN为等边三角形 (4)由(3)知∠CMN=∠CNM=∠DCN=60° ∴∠CMN+∠MCB=180° ∴MN//BC