Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为

BC

的中点，DE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求直径AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，BC，则证明OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）由（1）可知DE是圆的切线，利用切割线定理即可求出AC的长；
（3）由垂径定理可知CH=BH，易证四边形CHDE是矩形，所以CH=DE=6cm，则BC可求出，利用勾股定理即可求出AB的长．

解答：（1）证明：连接OD，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵D为

BC

的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC于E，
∴∠CED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵DE是⊙O的切线，
∴DE²=CE•AE，
∵DE=6cm，CE=2cm，
∴AE=18cm，
∴AC=AE-CE=16cm，

（3）解：∵OD⊥BC，
∴CH=BH，
∵CH=DE=6cm，
∴BC=12cm，
∴AB=

AC2+BC2

=20cm．

点评：本题考查了切线的判定和性质、切割线定理以及勾股定理和垂径定理的运用，解题的关键是证明四边形CHDE是矩形，再利用勾股定理解题．